ฉบับนักเรียน ม.1 Gifted / GATE ฉบับรวมโจทย์และเทคนิค

เอกสารติวเข้มคณิตศาสตร์ สอบเข้า ม.1 (หลักสูตรห้องพิเศษ Gifted / GATE)

วิชา: คณิตศาสตร์ | หมวดที่ 1: โครงสร้างจำนวนและตัวประกอบ (Number Theory & Factors)

ส่วนสรุปแก่นเนื้อหาสำคัญ (Core Concepts)

📌 การแยกตัวประกอบและจำนวนตัวประกอบทั้งหมด

  • หาก $N = p_1^a \times p_2^b \times p_3^c$ (โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ)
  • จำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ $N = (a+1)(b+1)(c+1)$
  • ผลบวกของตัวประกอบทั้งหมดของ $N = (1 + p_1 + ... + p_1^a)(1 + p_2 + ... + p_2^b)...$

📌 หลักการหารลงตัวขั้นสูง (Divisibility Rules)

  • หารด้วย 4: ดู 2 หลักสุดท้าย
  • หารด้วย 8: ดู 3 หลักสุดท้าย
  • หารด้วย 3 หรือ 9: ดูผลบวกของเลขโดดทุกหลัก
  • หารด้วย 11: ผลต่างของ (ผลบวกเลขโดดในตำแหน่งคี่) กับ (ผลบวกเลขโดดในตำแหน่งคู่) ต้องหารด้วย 11 ลงตัว

📌 ห.ร.ม. (GCD) ขั้นสูง

  • วิธีตั้งหารแบบยูคลิด (Euclidean Algorithm) เหมาะสำหรับเลขขนาดใหญ่
  • โจทย์ ห.ร.ม. เหลือเศษเท่ากัน: นำตัวเลขแต่ละคู่มาลบกัน แล้วหา ห.ร.ม. ของผลต่างเหล่านั้น
  • โจทย์ ห.ร.ม. เหลือเศษต่างกัน: นำเศษไปลบออกจากแต่ละจำนวนก่อน แล้วจึงหา ห.ร.ม.

📌 ค.ร.น. (LCM) ขั้นสูง

  • โจทย์ ค.ร.น. เหลือเศษเท่ากัน ($r$): คำนวณจาก $(ค.ร.น. \times k) + r$
  • โจทย์ ค.ร.น. เหลือเศษต่างกันแต่ขาดเท่ากัน ($d$): คำนวณจาก $(ค.ร.น. \times k) - d$
  • สูตรสัมพันธ์หลัก: ผลคูณของสองจำนวน = ห.ร.ม. $\times$ ค.ร.น. ($A \times B = \gcd(A,B) \times \text{lcm}(A,B)$)

ส่วนที่ 1: ตัวอย่างนำทำโดยครูผู้สอน (Guided Examples)

✏️ ตัวอย่างที่ 1 จำนวนตัวประกอบ
จงหาจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มีตัวประกอบบวกทั้งหมด 12 ตัว
📝 พื้นที่สำหรับแสดงวิธีทำ
(พื้นที่สำหรับทดเลข และเขียนแสดงขั้นตอนวิธีทำ)
✏️ ตัวอย่างที่ 2 ห.ร.ม. เหลือเศษเท่ากัน
จำนวนนับที่มากที่สุดที่นำไปหาร 279, 423 และ 567 แล้วเหลือเศษเท่ากัน คือจำนวนใด และเศษนั้นมีค่าเท่าใด
📝 พื้นที่สำหรับแสดงวิธีทำ
(พื้นที่สำหรับทดเลข และเขียนแสดงขั้นตอนวิธีทำ)
✏️ ตัวอย่างที่ 3 ค.ร.น. ขาดเท่ากัน
จงหาจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 100 ซึ่งเมื่อหารด้วย 6 เหลือเศษ 4, หารด้วย 8 เหลือเศษ 6 และหารด้วย 10 เหลือเศษ 8
📝 พื้นที่สำหรับแสดงวิธีทำ
(พื้นที่สำหรับทดเลข และเขียนแสดงขั้นตอนวิธีทำ)
✏️ ตัวอย่างที่ 4 ความสัมพันธ์ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
จำนวนนับสองจำนวนมี ห.ร.ม. เท่ากับ 12 และมี ค.ร.น. เท่ากับ 360 ถ้าจำนวนหนึ่งคือ 72 จงหาอีกจำนวนหนึ่ง และถ้าทั้งสองจำนวนไม่ใช่ 72 จงหาคู่จำนวนทั้งหมดที่เป็นไปได้
📝 พื้นที่สำหรับแสดงวิธีทำ
(พื้นที่สำหรับทดเลข และเขียนแสดงขั้นตอนวิธีทำ)
✏️ ตัวอย่างที่ 5 หลักการหารลงตัวและสมการ
เลขหกหลัก $5A3,21B$ หารด้วย 36 ลงตัว จงหาค่าของ $A + B$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
📝 พื้นที่สำหรับแสดงวิธีทำ
(พื้นที่สำหรับทดเลข และเขียนแสดงขั้นตอนวิธีทำ)

ส่วนที่ 2: แบบฝึกหัดท้าทาย (Practice Problems)

ระดับ Medium แนวข้อสอบแข่งขันมาตรฐาน
1.
จงหาผลบวกของตัวประกอบทั้งหมดของ 360 ที่เป็นจำนวนคู่
2.
มีเชือก 3 เส้น ยาว 168, 210 และ 252 เซนติเมตร ต้องการตัดเป็นเส้นสั้นๆ ให้ยาวเท่ากันโดยยาวที่สุดและไม่เหลือเศษ จะได้เชือกทั้งหมดกี่เส้น
3.
จงหาค่าของจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $180 \times n$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
4.
เลขโดด $A$ และ $B$ ที่ทำให้จำนวน $4A72B$ หารด้วย 72 ลงตัว มีค่า $A \times B$ เท่ากับเท่าใด
ระดับ Hard แนวข้อสอบ Gifted หอวัง / สามเสน / สวนกุหลาบ
5.
จงหาจำนวนเต็มบวก $N$ ที่มากที่สุดที่หาร 1,234 และ 2,026 แล้วเหลือเศษ 10 เท่ากัน
6.
ตู้เซฟนิรภัยแห่งหนึ่งตั้งรหัสผ่านเป็นจำนวนนับ 4 หลัก ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข: เมื่อหารด้วย 12 เหลือเศษ 5, หารด้วย 15 เหลือเศษ 8 และหารด้วย 18 เหลือเศษ 11 จงหารหัสผ่านที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
7.
จำนวนนับสองจำนวน มีผลบวกเท่ากับ 168 และมี ห.ร.ม. เท่ากับ 14 จงหาว่ามีจำนวนนับคู่อันดับ $(A, B)$ ที่สอดคล้องกี่คู่ เมื่อ $A \le B$
8.
ถ้า $A$ เป็นจำนวนนับที่ทำให้ $\frac{360}{A}$ เป็นจำนวนนับ จงหาว่ามีค่า $A$ ทั้งหมดกี่ค่าที่ทำให้ $A$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
9.
จงหาจำนวนนับสามหลักที่มีตัวประกอบทั้งหมด 5 ตัว มีกี่จำนวน และจำนวนที่มากที่สุดคือจำนวนใด
ระดับ Challenging โจทย์ตัดเชือก / สพฐ. / สมาคมคณิตศาสตร์
10.
ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนนับ ซึ่ง $\gcd(x, y) = 6$ และ $\text{lcm}(x, y) = 720$ ถ้า $x < y$ จงหาค่าของ $y - x$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
11.
ในการจัดเรียงเก้าอี้ ถ้าจัดแถวละ 9 ตัว จะเหลือ 7 ตัว, จัดแถวละ 10 ตัว จะเหลือ 8 ตัว, จัดแถวละ 12 ตัว จะเหลือ 10 ตัว และถ้าจัดแถวละ 11 ตัว จะพอดี จงหาจำนวนเก้าอี้ที่น้อยที่สุด
12.
กำหนดให้ $N = 2^a \times 3^b \times 5^c$ ถ้า $N$ มีตัวประกอบทั้งหมด 60 ตัว, $2N$ มีตัวประกอบทั้งหมด 80 ตัว และ $3N$ มีตัวประกอบทั้งหมด 90 ตัว จงหาค่าของ $N$